NÚMEROS PRIMOS EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Um número inteiro positivo é primo se ele é divisível apenas por 1 ou por ele mesmo. Embora a noção de número primo pareça óbvia, questões envolvendo números primos não são fáceis de serem respondidas. Por exemplo, todo número ímpar pode ser expresso na forma 4x + 1 ou 4x + 3; portanto, perguntamos quais são os primos da forma 4x + 1 e quais são os primos da forma 4x + 3. Será que se gerarmos as seqüências numéricas da forma acima, substituindo-se x por inteiros positivos, as seqüências resultantes apresentarão um número infinito de números primos?

Primeiro observa que, se gerarmos a seqüência de números da forma 4x + 3:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 87

a diferença entre um termo da seqüência e o seu antecessor é sempre igual a 4. O mesmo ocorre em relação às seqüências 4x + 1, 6x + 1 ou 6x + 5. De fato, estas são chamadas seqüências aritméticas.

Euclides deu uma demonstração bastante engenhosa de que existe um número infinito de números primos. Além disso, também provou que existem infinitos primos da forma 4x +3. Mas será existe um número infinito de primos da forma 4x + 1? A resposta é afirmativa! E, naturalmente, surge uma outra pergunta:

Será que pode ser generalizado o fato de existirem infinitos primos em algumas progressões aritméticas?

Observe que as progressões citadas acima são da forma b + ax onde a e b são fixados e x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., isto é, elas são da forma

b, b + a, b + 2a, b + 3a, b + 4a, ...

Se a e b possuem um fator comum, então a progressão aritmética não contém números primos, pois todo elemento da progressão tem esse fator. Isso sugere que devemos considerar progressões b + ax em que a e b sejam primos entre si para obtermos um número infinito de primos. Parece que o matemático Legendre foi o primeiro a perceber a importância dessa questão e, em 1808, publicou a seguinte conjectura: “Se a ≥ 2 e b ≠ 0 são inteiros positivos e primos entre si, então existe uma infinidade de números primos na progressão aritmética

b, b + a, b + 2a, b + 3a, ... .”

Essa conjectura se transformou em um teorema de grande importância e foi demonstrada por Dirichlet em 1837. Esse resultado foi monumental por uma série de razões. Dirichlet baseou-se na idéia original de Euler para demonstrar a infinitude dos primos. Foram utilizados métodos analíticos revolucionários e muitos outros conceitos até então estranhos à teoria dos números inteiros. Em 1949, o matemático Atle Selberg deu uma demonstração elementar do teorema de Dirichlet, análoga à demonstração que dera anteriormente do teorema do número primo.

Dirichlet também demonstrou que qualquer forma quadrática em duas variáveis, isto é, qualquer forma do tipo ax² + bxy + cy² onde a, b, c, são primos entre si, geram uma infinidade de primos. Não se sabe muito sobre outras formas que gerem infinitos números primos.

Por fim, podemos demonstrar que não existe progressão aritmética em que todos os termos são números primos. Até o século passado, um velho problema em aberto consistia em se determinar uma progressão aritmética arbitrariamente longa, porém finita em que todos os termos fossem números primos.